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* 핵심

MST의 Union-Find를 이용하여 최소비용을 출력

* 문제

문제

도현이는 컴퓨터와 컴퓨터를 모두 연결하는 네트워크를 구축하려 한다. 하지만 아쉽게도 허브가 있지 않아 컴퓨터와 컴퓨터를 직접 연결하여야 한다. 그런데 모두가 자료를 공유하기 위해서는 모든 컴퓨터가 연결이 되어 있어야 한다. (a와 b가 연결이 되어 있다는 말은 a에서 b로의 경로가 존재한다는 것을 의미한다. a에서 b를 연결하는 선이 있고, b와 c를 연결하는 선이 있으면 a와 c는 연결이 되어 있다.)

그런데 이왕이면 컴퓨터를 연결하는 비용을 최소로 하여야 컴퓨터를 연결하는 비용 외에 다른 곳에 돈을 더 쓸 수 있을 것이다. 이제 각 컴퓨터를 연결하는데 필요한 비용이 주어졌을 때 모든 컴퓨터를 연결하는데 필요한 최소비용을 출력하라. 모든 컴퓨터를 연결할 수 없는 경우는 없다.

입력

첫째 줄에 컴퓨터의 수 N (1 ≤ N ≤ 1000)가 주어진다.

둘째 줄에는 연결할 수 있는 선의 수 M (1 ≤ M ≤ 100,000)가 주어진다.

셋째 줄부터 M+2번째 줄까지 총 M개의 줄에 각 컴퓨터를 연결하는데 드는 비용이 주어진다. 이 비용의 정보는 세 개의 정수로 주어지는데, 만약에 a b c 가 주어져 있다고 하면 a컴퓨터와 b컴퓨터를 연결하는데 비용이 c (1 ≤ c ≤ 10,000) 만큼 든다는 것을 의미한다.

출력

모든 컴퓨터를 연결하는데 필요한 최소비용을 첫째 줄에 출력한다.

* 소스 코드

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import java.io.*;
import java.util.*;
 
public class Main {
    public static int[] disjoint;
 
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        int n = Integer.parseInt(br.readLine());
        int m = Integer.parseInt(br.readLine());
 
        Edge[] edge = new Edge[m];
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            StringTokenizer stk = new StringTokenizer(br.readLine());
            int u = Integer.parseInt(stk.nextToken());
            int v = Integer.parseInt(stk.nextToken());
            int w = Integer.parseInt(stk.nextToken());
            edge[i] = new Edge(u, v, w);
        }
        Arrays.sort(edge);
        disjoint = new int[n + 1];
        for (int i = 0; i < n + 1; i++) {
            disjoint[i] = i;
        }
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i < m; i++) {       //union-find
            Edge e = edge[i];
            int u = e.u;
            int v = e.v;
            int x = find(u);        //find
            int y = find(v);        //find
            if (x != y) {           //union
                disjoint[x] = y;
                ans += e.w;
            }
        }
        System.out.println(ans);
    }
 
    public static int find(int x) {
        if (disjoint[x] == x) return x;
        else return disjoint[x] = find(disjoint[x]);
    }
 
    public static class Edge implements Comparable<Edge> {
        int u, v, w;
 
        public Edge(int u, int v, int w) {
            this.u = u;
            this.v = v;
            this.w = w;
        }
 
        @Override
        public int compareTo(Edge o) {
            return this.w - o.w;
        }
    }
}
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* MST란?

Minimum Spanning Tree의 약자로, 직역하면 최소 신장 트리라고 불린다.

Spanning Tree는 모든 정점들이 연결 되어 있어야 하고 사이클을 포함해서는 안된다.

앞에 Minimum을 붙이면 각 간선의 가중치가 다른 경우 최소의 가중치로 연결하여 모든 정점을 방문하는 것을 말한다.

즉, MST에서는 간선의 가중치가 최소로 모든 정점을 방문해야하며 사이클이 생겨서는 안된다.

MST에는 크게 Kruskal(크루스칼) 알고리즘과 Prim(프림) 알고리즘이 존재한다.


* 크루스칼 알고리즘 (+Union-Find)

1. 간선을 가중치에 따라 오름차순으로 정렬한다. (Comparable 사용)

2. 가장 가중치를 가지는 간선을 첫번째 간선으로 선택한다.

3. 가중치가 작은 간선을 선택한다.

4. 선택한 간선과 이전에 선택한 간선이 사이클을 이루는지 확인한다. (Union-Find(Disjoint-Set) 사용)


Union-Find 자료구조에서 Disjoint-Set 확인 방법은 다음과 같다.

1. 초기화 : N 개의 원소가 각각의 집합에 포함되어 있도록 초기화 합니다. 

2. Union (합치기) 연산 : 두 원소 a, b 가 주어질 때, 이들이 속한 두 집합을 하나로 합칩니다. 

3. Find (찾기) 연산 : 어떤 원소 a 가 주어질 때, 이 원소가 속한 집합을 반환합니다. 

즉, disjoint를 통해 같은 집합여부를 확인할 수 있다.

이를 소스코드로 표현하면 다음과 같다.

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// Disjoint 초기화
int[] disjoint = new int[n + 1];
for (int i = 0; i < n + 1; i++) {
    disjoint[i] = i;        //disjoint[i]에는 부모의 정점의 번호를 
}
 
// Disjoint Find
public static int find(int x) {
    if (disjoint[x] == x) return x;
    else return disjoint[x] = find(disjoint[x]);
}
 
//Disjoint Union
int x = find(u);        //find
int y = find(v);        //find
if (x != y) {           //union
    disjoint[x] = y;
}
cs

백준/1922 :: 네트워크 연결 문제

백준/1922 :: 네트워크 연결 풀이


* 프림 알고리즘 

1. 가중치가 낮은 간선을 선택한다.

2. 선택한 간선과 인접한 간선 중에서, 사이클을 생성하지 않는 간선 중에서 가중치가 작은 간선을 선택한다. (현재 간선의 가중치를 추가하면 다익스트라)

3. 위 과정을 반복하여 n-1개의 간선을 선택한다.

위 과정을 거치기 때문에 간선을 선택할 때마다 트리의 형태가 유지된다. (보통 우선순위큐를 이용하여 BFS로 구현한다.)

프림 알고리즘은 다익스트라(Dijkstra) 개념과 같이 이해하는게 편리하다.


cf) 프림 알고리즘 : MST를 만들 때 사용하는 알고리즘으로 BFS처럼 선마다 최소 가중치를 찾아 연결하는 방법

다익스트라 알고리즘 : 시작 정점 x에서 도착 정점 y까지 최단거리로 이동하는 방식

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// 프림 알고리즘    => 연결된 간선들 중 최소 가중치만 구한다.
pq.add(new Edge(e.v, edge[e.v].get(i).v, edge[e.v].get(i).w));
 
// 다익스트라 알고리즘    => 현재 가중치를 계속 더해야 한다.
pq.add(new Edge(e.v, edge[e.v].get(i).v, edge[e.v].get(i).w + e.w));
cs


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